線性代數(shù):如何求特征值和特征向量?
慧利
線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中,掌握方法很重要。下面就為大家慢慢解析,如何求特征值和特征向量。
特征值和特征向量的相關(guān)定義
首先我們需要了解特征值和特征向量的定義,如下圖;
齊次性線性方程組和非其齊次線性方程組的區(qū)別,如下圖;
特征子空間的定義,如下圖;
特征多項(xiàng)式的定義,如下圖;
特征值的基本性質(zhì),如下圖;
齊次線性方程組解法
齊次線性方程組的特征就是等式右邊為0,以消元法簡化;
在初等數(shù)學(xué)方程組中都是有唯一解的,而在線性代數(shù)中,我們把這種情況稱為方程組“系數(shù)矩陣的秩為1”,記為r(A)=1,當(dāng)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí),方程組有無數(shù)個(gè)解;當(dāng)矩陣的秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí),方程組只有零解。
由于上訴方程組有兩個(gè)未知數(shù),而r(A)=1<2,所以此組有無數(shù)個(gè)解。設(shè) y=2 ,則 x=1;再設(shè)k為任意常數(shù),則 x=k, y=2k為方程組的解,寫成矩陣的形式為:
非齊次線性方程組解法
非齊次線性方程組因?yàn)椴坏扔?,看起來很復(fù)雜,其實(shí)方法還是先用消元法簡化步驟;
這一次進(jìn)行初等行變換后,對于任意的非齊次線性方程組,當(dāng) r(A)=r(A|b)=未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí),非齊次線性方程組有唯一解;當(dāng) r(A)=r(A|b)<未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí),非齊次線性方程組有無數(shù)個(gè)解;當(dāng) r(A) ≠r(A|b) 時(shí),非齊次線性方程組無解。
可見 r(A)=r(A|b)=3,所以[A|b]有唯一解,寫回方程組形式:
例題解析
求下列矩陣的特征值和特征向量;
求矩陣特征值和特征向量的一般解法;
試證明A的特征值唯有1和2;
證明性問題還是需要解出特征值。
關(guān)于特征值與特征向量的理解
對于特征值與特征向量,總結(jié)起來大概分為三種理解: