等于

在數(shù)學(xué)的完備實數(shù)系中，循環(huán)小數(shù)0.999…表示一個等於1的實數(shù)，即0.999…所表示的數(shù)與1相同。目前該等式已經(jīng)有各式各樣的證明式；它們各有不同的嚴謹性、背景假設(shè)，且都蘊含實數(shù)的實質(zhì)條件，即阿基米德公理、歷史文脈、以及目標受眾。

無限循環(huán)小數(shù) 0.999... 與 1 嚴格相等。

很多網(wǎng)友會通過一些初等的方法來理解這個事實，下面舉出三種有代表性的初等思路：思路一：

設(shè) a=0.999...

則 10a=9.999...

于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,

因此 a=1.

思路二：

由于 1/3=0.333...,

所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...

思路三：

0.999...可以看成首項為 0.9, 公比為 0.1 的等比數(shù)列

的所有項之和.

根據(jù)等比數(shù)列的求和公式,

但是，需要強調(diào)的是，以上三種思路可以用來直觀理解，但不能把它們當成“1=0.999...”的嚴格證明。原因是，“0.999...”這樣的無限小數(shù)的嚴格表示是超出了初等數(shù)學(xué)的范圍的，不能想當然地對“0.999...”這樣的無限小數(shù)做普通的加減乘除運算，所以上面三種初等思路只能算“投機取巧”的“初等理解”，而不能叫做“嚴格證明”。

要給出 1=0.999... 這個事實的嚴格證明，需要理解從有理數(shù)構(gòu)造實數(shù)的辦法，這個構(gòu)造過程將使我們更加深刻地認識無理數(shù)，而不是僅僅停留在"無限不循環(huán)小數(shù)"的直觀層面上。

在過去數(shù)十年裡，許多數(shù)學(xué)教育的研究人員研究了大眾及學(xué)生們對該等式的接受程度，許多學(xué)生在學(xué)習開始時懷疑或拒絕該等式，而后許多學(xué)生被老師、教科書和如下章節(jié)的算術(shù)推論說服接受兩者是相等的，盡管如此，許多人們?nèi)猿８械綉岩?，而提出進一步的辯解，這經(jīng)常是由于存在不少對數(shù)學(xué)實數(shù)錯誤的觀念等的背后因素，例如認為每一個實數(shù)都有唯一的一個小數(shù)展開式，以及認為無限?。o窮小）不等于0，并且將0.999…視為一個不定值，即該值只是一直不斷無限的微微擴張變大，因此與1的差永遠是無限小而不是零，因此「永遠都差一點」。我們可以構(gòu)造出符合這些直觀的數(shù)系，但是只能在用於初等數(shù)學(xué)或多數(shù)更高等數(shù)學(xué)中的標準實數(shù)系統(tǒng)之外進行，的確，某些設(shè)計含有「恰恰小於1」的數(shù)，不過，這些數(shù)一般與0.999…無關(guān)（因為與之相關(guān)的理論上和實踐上都皆無實質(zhì)用途），但在數(shù)學(xué)分析中引起了相當大的關(guān)注。