二、霍奇猜想

霍奇猜想是代數(shù)幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想。它在霍奇的著述的一個結(jié)果中出現(xiàn)，他在1930至1940年間通過包含額外的結(jié)構(gòu)豐富了德拉姆上同調(diào)的表述，這種結(jié)構(gòu)出現(xiàn)于代數(shù)簇的情況（但不僅限于這種情況）。

三、龐加萊猜想

龐加萊猜想最早是由法國數(shù)學(xué)家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的數(shù)學(xué)方面七大千禧年難題之一。2006年確認由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼完成最終證明，他也因此在同年獲得菲爾茲獎，但并未現(xiàn)身領(lǐng)獎。

基本描述

在1900年，龐加萊曾聲稱，用他基于恩里科·貝蒂的工作而發(fā)展出的同調(diào)論，可以判定一個三維流形是否三維球面。不過，他在1904年發(fā)表的一篇論文中，舉出了一個反例，現(xiàn)在稱為龐加萊同調(diào)球面，與三維球面有相同的同調(diào)群。他引進了一個新的拓撲不變量，稱為基本群，并且證明他的反例與三維球面的基本群不同。三維球面有平凡基本群，也就是說是單連通的。他提出以下猜想： 任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。 上述簡單來說就是：每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓撲等價于三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個柳橙表面的橡皮筋，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果我們想象同樣的橡皮筋以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個甜甜圈表面上，那么不扯斷橡皮筋或者甜甜圈，是沒有辦法把它不離開表面而又收縮到一點的。我們說，柳橙表面是“單連通的”，而甜甜圈表面則不是。 該猜想是一個屬于代數(shù)拓撲學(xué)領(lǐng)域的具有基本意義的命題，對“龐加萊猜想”的證明及其帶來的后果將會加深數(shù)學(xué)家對流形性質(zhì)的認識，甚至?xí)θ藗冇脭?shù)學(xué)語言描述宇宙空間產(chǎn)生影響，對于一維與二維的情形，此猜想是對的，現(xiàn)在已經(jīng)知道，它對于任何維數(shù)都是對的。

證明歷史

20世紀(jì) 這個問題曾經(jīng)被擱置了很長時間，直到1930年懷特海首先宣布已經(jīng)證明然而又收回，才再次引起了人們的興趣。懷特海提出了一些有趣的三流形實例，其原型現(xiàn)在稱為懷特海流形。1950和1960年代，又有許多著名的數(shù)學(xué)家包括R·H·賓、沃夫?qū)?middot;哈肯、愛德華·摩斯聲稱得到了證明，但最終都發(fā)現(xiàn)證明存在致命缺陷。1961年，美國數(shù)學(xué)家史提芬·斯梅爾采用十分巧妙的方法繞過三、四維的困難情況，證明了五維以上的龐加萊猜想。這段時間對于低維拓撲的發(fā)展非常重要。這個猜想逐漸以證明極難而知名，但是證明此猜想的工作增進了對三流形的理解。1981年美國數(shù)學(xué)家麥克·傅利曼證明了四維猜想，至此廣義龐加萊猜想得到了證明。 1982年，理查德·哈密頓引入了“里奇流”的概念，并以此證明了幾種特殊情況下的龐加萊猜想。在此后的幾年中，他進一步地發(fā)展了此方法，后來被佩雷爾曼的證明所使用。

21世紀(jì)俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼發(fā)表了三篇論文預(yù)印本，并聲稱證明了幾何化猜想。在佩雷爾曼之后，先后有3組研究者發(fā)表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節(jié)。這包括密歇根大學(xué)的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學(xué)的約翰·摩根和麻省理工學(xué)院的田剛；以及理海大學(xué)的曹懷東和中山大學(xué)的朱熹平。 2006年8月，第25屆國際數(shù)學(xué)家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎，但佩雷爾曼拒絕接受該獎。數(shù)學(xué)界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。