四：黎曼猜想

黎曼猜想由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼于1859年提出。它是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又著名的未解決的問題(猜想界皇冠)。多年來它吸引了許多出色的數(shù)學(xué)家為之絞盡腦汁。1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想與強(qiáng)條件的素?cái)?shù)定理等價(jià)?，F(xiàn)在已經(jīng)驗(yàn)證了最初的1500000000個(gè)素?cái)?shù)對(duì)這個(gè)定理都成立。但是是否所有的解對(duì)此定理都成立，至今尚無人給出證明。 黎曼猜想所以被認(rèn)為是當(dāng)代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的問題，主要是因?yàn)楹芏嗌钊牒椭匾臄?shù)學(xué)和物理結(jié)果都能在它成立的大前提下被證明。大部分?jǐn)?shù)學(xué)家也相信黎曼猜想是正確的（約翰·恩瑟·李特爾伍德與塞爾伯格曾提出懷疑。塞爾伯格于晚年部分改變了他的懷疑立場(chǎng)。在1989年的一篇論文中，他猜測(cè)黎曼猜想對(duì)更廣泛的一類函數(shù)也應(yīng)當(dāng)成立。）克雷數(shù)學(xué)研究所設(shè)立了$1000000美元的獎(jiǎng)金給予第一個(gè)得出正確證明的人。

歷史研究

黎曼1859年在他的論文中提及了這個(gè)著名的猜想，但它并非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。黎曼知道ζ函數(shù)的不平凡零點(diǎn)對(duì)稱地分布在直線s = ½ + it上，以及他知道它所有的不平凡零點(diǎn)一定位于區(qū)域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。 1896年，雅克·阿達(dá)馬和Charles Jean de la Vallée-Poussin分別獨(dú)立地證明了在直線Re(s) = 1上沒有零點(diǎn)。連同了黎曼對(duì)于不非凡零點(diǎn)已經(jīng)證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點(diǎn)一定處于區(qū)域0 < Re(s) < 1上。這是素?cái)?shù)定理第一個(gè)完整證明中很關(guān)鍵的一步。 1900年，大衛(wèi)·希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的23條問題中，與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第8號(hào)問題。同時(shí)黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個(gè)被收入克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年大獎(jiǎng)數(shù)學(xué)難題的。希爾伯特曾說，如果他在沉睡1000年后醒來，他將問的第一個(gè)問題便是：黎曼猜想得到證明了嗎？[1] 1914年，高德菲·哈羅德·哈代證明了有無限個(gè)零點(diǎn)在直線Re(s) = ½上。然而仍然有可能有無限個(gè)不平凡零點(diǎn)位于其它地方（而且有可能是最主要的零點(diǎn)）。后來哈代與約翰·恩瑟·李特爾伍德在1921年及塞爾伯格在1942年的工作（臨界線定理）也就是計(jì)算零點(diǎn)在臨界線Re(s) = ½上的平均密度。 近年來的工作主要集中于清楚的計(jì)算大量零點(diǎn)的位置（希望借此能找到一個(gè)反例）以及對(duì)處于臨界線以外零點(diǎn)數(shù)目的比例置一上界（希望能把上界降至零）。

五：楊-米爾斯存在性與質(zhì)量間隙

楊－米爾斯規(guī)范場(chǎng)論與質(zhì)量間隙是理論物理中規(guī)范場(chǎng)論的一道基礎(chǔ)問題，必須在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明楊－米爾斯場(chǎng)論存在（即需符合構(gòu)造性量子場(chǎng)論的標(biāo)準(zhǔn)），亦要證明它們有質(zhì)量間隙，即模型所預(yù)測(cè)的最輕單粒子態(tài)為正質(zhì)量。2000年，克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞各一百萬元的數(shù)學(xué)七大千禧年難題，其中一道題為楊－米爾斯規(guī)范場(chǎng)論同質(zhì)量間隙。

背景 我們所知多數(shù)非凡（nontrivial）－－即有相互作用－－的4維量子場(chǎng)論皆有cutoff scale的有效場(chǎng)論。因多數(shù)模型的beta-函數(shù)是正的，似乎大多數(shù)這類模型皆有一支Landau pole，因我們完全不清楚它們有沒有非凡紫外定點(diǎn)。故此，若每一scale上皆定義有這樣的量子場(chǎng)論[注 1]，它只可能為單純的自由場(chǎng)論。 然而，有不可交換結(jié)構(gòu)群的楊-米爾斯理論（無夸克）例外。它有一種性質(zhì)稱為漸近自由，指它有一單純的紫外定點(diǎn)。因此，我們可以寄望它成為非凡的構(gòu)造性（constructive）四維量子場(chǎng)模型。 不交換群Yang-Mills理論的色禁閉性已有符合理論物理嚴(yán)謹(jǐn)性的證明，但未有符合數(shù)理物理嚴(yán)謹(jǐn)性的證明[注 3]?；旧希瑩Q言之，過了QCD尺度（或者這里應(yīng)稱為禁閉尺度，因?yàn)闊o夸克），那些色荷粒子被色動(dòng)力學(xué)的“流管”連著，所以粒子間有線性勢(shì)（“弦”張力x長度）。所以膠子之類自由賀粒子不可能存在。若沒有這些禁閉效應(yīng)，我們應(yīng)見到零質(zhì)量的膠子；但因它們被禁閉，我們只見到不帶色荷的膠子束綁態(tài)——膠波。凡膠波皆質(zhì)量，所以我們期望質(zhì)量間隙。 格點(diǎn)規(guī)范場(chǎng)論的結(jié)果令不少工作者相信，這個(gè)模型真的有禁閉現(xiàn)象（由Wilson圈的真空期望值的下降的“面積規(guī)律”(area law)看出），但這項(xiàng)結(jié)果還沒有符合數(shù)學(xué)的嚴(yán)慬性。